Koniec: 20. marec 2025 22:00
Do konca: kolo skončilo

Anička vytiahla z vrecka kompas a jemne poupravila smer, ktorým skupina kráčala. „Kedy tam už budeme?” Spýtala sa Ivka. Z jej tónu bolo cítiť, že hoci má piesok len v topánkach, pocitovo ho má až po krk. „Keď naprší a uschne,” usmiala sa Alic pri pohľade na čistú modrú oblohu. „Asi už uschlo,” povedal Macker pri pohľade z hrebeňa duny, za ktorou sa črtala sfinga, ktorá mala pre nich hádanku.

1. príklad

Kategórie:
5

Zistite všetky navzájom rôzne cifry A, B, C, D, E, F a G, pre ktoré platí, že:

\begin{aligned} ABCDA \\ -EFGF \\ \hline FBGE \end{aligned}

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

„Správne,” ozvala sa mierne prekvapená sfinga. Túto hádanku už dlho nikto nevyriešil. Vlastne žiadnu jej hádanku nikdy nikto nevyriešil. Matne si spomínala na to, že keď niekto správne uhádne hádanku, má mu niečo dať. Po chvíli rozmýšľania si spomenula, že má nejaké vombatie kocky. Keďže sú to takí matematici, možno ich využijú na nejaké zaujímavé výpočty alebo sa s nimi budú môcť ohadzovať.

2. príklad

Kategórie:
5
6

Niekoľko vedúcich, aspoň 1, dostali od sfingy 54 vombatích kociek. Kocky boli zelené a sivé. Ďalej spĺňali nasledovné:

  1. Počet sivých kociek bol deliteľný 4.
  2. Počet zelených kociek bol deliteľný 6.
  3. Hodnota zelenej kocky je rovnaká ako hodnota 3 sivých kociek.
  4. Každý vedúci dostal rovnakú hodnotu.
  5. Každý vedúci mal aspoň dvakrát viac sivých kociek, ako zelených kociek.
  6. Každý vedúci dostal minimálne jednu zelenú kocku.
Nájdite všetky možnosti, koľko mohlo byť vedúcich.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

„Mne z toho riešenia príkladov a hádaniek nejako vyhladlo,” oznámil Merlin, ktorému zaškvŕkalo v bruchu. Ivka si zložila z chrbta ruksak a zalovila do jeho hlbín. Po čase slávnoste vytiahla akési popučené gule posypané na nerozoznanie pieskom a kryštálovým cukrom: „Mne ostali z domu nejaké buchty a rada sa podelím pod podmienkou, že mi necháte tú čerešňovú.”

3. príklad

Kategórie:
5
6
7

Ivka vytiahla z batohu 15 buchtičiek a položila ich do kruhu na tanier v tomto poradí: 7 kapustových, 7 mäsových, 1 čerešňová. Kým sa nedívala, vedúci jej tanier pootočili. Ivka má chuť na čerešňovú buchtu, zvonka sú však všetky buchty rovnaké. Dokážte, že nech je tanier otočený akokoľvek, tak Ivka vie zjesť najviac štyri buchty tak, aby jedna zo zjedených buchiet bola čerešňová.

Komentáre (5)

  • LuciaPleschová
    05. marec 2025 21:15

    Úloha je nezmyselná. Má sa dokázať tvrdenie, že "nech je tanier otočený akokoľvek, tak Ivka vie zjesť najviac štyri buchty tak, aby jedna zo zjedených buchiet bola čerešňová". Toto tvrdenie je ale zjavne nepravdivé, lebo Ivka pokojne môže zjesť aj všetky buchty a vtedy bude práve jedna čerešňová. Teda neplatí, že môže zjesť maximálne štyri buchty tak, aby jedna bola čerešňová. Dokázať nepravdivé tvrdenie sa nedá. Martin Plesch

  • DailyLattice149
    05. marec 2025 22:13

    Úloha sa pýta či Ivka vie zjesť maximálne 4 buchty, tak aby jedna z nich bola čerešňová, čiže nemôže zjesť pokojne všetky buchty.

  • Red Vedúci
    06. marec 2025 11:47

    Zdravím!
    Ospravelňujeme sa za trocha zavádzajúcu formuláciu, ale príklad má byť správne interpretovaný takto: Ivka môže zjesť najviac 4 buchty. Dokážte, že bez ohľadu na otočenie taniera určite dokáže zjesť čerešňovú buchtu (aj keď teda na začiatku jedenia nevie, kde sa táto čerešňová buchta nachádza). A teda tým, že nejakú buchtu zje, zistí, čo bolo vnútri tejto buchty.
    Dúfam, že je teraz príklad jasnejší.
    Za vedúcich Sebik

  • Ja.Som.Ušiačka
    11. marec 2025 07:44

    3 buchty spôsobom, že vrátane tých troch bude čerešňová alebo keď zje tri buchty bude vedieť kde sa nachádza teda čerešnovú si dá ako ďalšiu?

  • JakubK Vedúci
    11. marec 2025 16:39

    Ahoj,
    keď zje tri buchty, tak buď už musela zjesť čerešňovú, alebo už bude musieť vedieť povedať, kde sa čerešňová nachádza (na základe predošlých buchiet), aby ju zjedla ako 4. buchtu.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Kým dojedli, padla noc. Na oblohe sa ligotala mliečna dráha a so slnkom odišla aj páľava. „Počujte, my sme to s tým teplom až tak dobre nevymysleli, veď tu je teraz hádam väčšia zima ako doma,” drkotal sa znovu Danko, ktorý si z tašky vyťahoval piatu vrstvu ponožiek. „Podáš aj mne jedny? Ideálne rovnakej farby.” Poprosila ho Alic.

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8

Danko má v batohu 10 červených, 13 žltých, 12 bielych, 16 zelených a 18 modrých ponožiek. Koľko ponožiek musí náhodne vytiahnuť, aby mal istotu, že bude mať aspoň z niektorej farby kladný párny počet? Nezabudnite vysvetliť, prečo pre menšie počty nebude mať istotu.

Komentáre (12)

  • OndrejHonsch
    27. február 2025 14:53

    Je to že "aspoň z niektorej farby kladný párny počet" čo ostane v ruksaku, alebo čo vytiahneme von z ruksaku? asi to druhé skôr.

  • JakubK Vedúci
    28. február 2025 12:05

    Ahoj,
    je to z tých, ktoré vytiahne.

  • Minecraftak0390
    28. február 2025 15:28

    Len pre istotu, pýtame sa koľko najmenej ponožiek treba vytiahnuť aby sme mali istotu?

  • JakubK Vedúci
    01. marec 2025 17:34

    Ahoj,
    áno, je to koľko najmenej.

  • danko.siroky@gmail.com
    02. marec 2025 12:07

    Tiez len pre istotu, ak by bolo z nejakej farby napr. 3 ponozky, rata sa to ako parny pocet, ze tam su dve z tej istej farby?
    Dakujem

  • JakubK Vedúci
    02. marec 2025 12:14

    Nie, všetkých vytiahnutých ponožiek z danej farby musí byť párny počet, teda nemôžeš mať vytiahnuté 3 ponožky jednej farby a rátať ich ako párny počet.

  • matkatren
    02. marec 2025 19:54

    Pozrie sa Danko po vytiahnutí ponožky na jej farbu?

  • JakubK Vedúci
    02. marec 2025 20:04

    Áno, Danko vidí farbu vytiahnutej ponožky.

  • OndrejHonsch
    03. marec 2025 13:55

    Ked poviem ze mu staci vytiahnut n ponoziek aby mal istotu ze ma kaldny parny pocet aspon z jednej fsrby, tak ak uz pri vytiahnuti n/2 ponoziek bude mat kladny parny pocet aspon z jednej farby, tak to staci? alebo to musi byt tak, ze vzdy ked nahodne vytiahne n ponoziek, tak bude mat kladny parny pocet aspon z jednej farby.

  • JakubK Vedúci
    03. marec 2025 13:58

    Ahoj,
    ráta sa to tak že Danko vytiahne naraz n ponožiek a medzi nimi musí byť niektorej farby párny počet.

  • LukasB
    08. marec 2025 10:37

    Ked vytiehne z jednej farby ziadnu ponozku znamena to ze vytiahol parny pocet ponoziek jednej farby?

  • JakubK Vedúci
    08. marec 2025 10:48

    Ahoj, v zadaní sa píše, že "kladný párny počet", teda žiadna ponožka nejakej farby sa nebude rátať ako párny počet vytiahnutých.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

O budíček sa postaral Macker: „AAA! Čo to dokelu je?!?” Pozeral sa čerstvo rozlepenými očami na čosi, čo vyzeralo ako nepriznané dieťa škorpióna a pavúka. „Jeeej, aká pekná solifuga!” prišla sa pokochať Ivka. „Neboj, tá ti nič neurobí, pozri, už zaliezla do diery. Ale to, čo spravilo tú zvláštnu trojuholníkovú pavučinu, možno aj hej. Poďme radšej predsa len ďalej... ”

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Sieť má tvar trojuholníka. Dokážte, že bez ohľadu na to, aký presne tento trojuholník je, tak ho vieme rozdeliť na 22 trojuholníkov, z ktorých má každý aspoň jeden uhol rovný 22\degree, a ďalších 23 trojuholníkov, z ktorých každý má aspoň jeden uhol rovný 23\degree.

Komentáre (6)

  • AlexKushpel
    03. marec 2025 12:18

    Dobrý deň, väčší trojuholník musí byť postavený IBA z tých trojuholníčkov, ktoré sú posísané v zadaní alebo môžem použiť aj iné trojuholníky spolu s tými zo zadania.

  • JakubK Vedúci
    03. marec 2025 12:20

    Ahoj,
    trojuholník musíš rozdeliť na iba tie trojuholníky popísané v zadaní.

  • JakubLaffers
    09. marec 2025 20:26

    správne som pochopil, že mám dokázať, že ľubovoľný trojuholník viem rozdeliť na 45 malých trojuholníkov, z toho 22 majú aspoň jeden uhol rovný 22stupňov a 23, čo majú aspoň jeden uhol rovný 23 stupňov?

  • JakubK Vedúci
    10. marec 2025 20:06

    Ahoj,
    áno, správne si pochopil.

  • OndrejHonsch
    14. marec 2025 11:39

    Môže sa tých 45 malých trojuholníkov prekrývať?

  • JakubK Vedúci
    14. marec 2025 19:37

    Trojuholníky sa nemôžu prekrývať a musia pokrývať celý trojuholník.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Vedúci na chvíľu zastavili, aby si oddýchli a najedli sa. Keď vysypali to málo, čo im ešte ostalo, ozval sa vystrašene Macker: „To je všetko?!” „Chcelo by to zastaviť sa niekde a dokúpiť jedlo a vodu,” Skonštatoval Danko. „To najprv musíme nejaký obchod nájsť. Neviem ako vy, ale ja sa o to snažím už dobrú chvíľu...” ozvala sa Alic a o čosi viac pragmaticky dodala, „to je teraz jedno. Máme ešte niekoľko kusov vifoniek, tak poďme prísť na to, ako si ich rozdeliť.”

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Nájdite všetky prirodzené čísla n také, že súčet ich deliteľov vydelený n je 1{,}2.

Komentáre (4)

  • Minecraftak0390
    22. február 2025 17:32

    Len pre istotu, 1,2 znamená 6/5 alebo dve možnosti - 1 alebo 2?

  • JakubK Vedúci
    22. február 2025 17:33

    Ahoj,
    znamená to 6/5.

  • LukasB
    08. marec 2025 10:36

    Delitele n sú aj n a 1?

  • JakubK Vedúci
    08. marec 2025 10:47

    Áno, delitele n sú aj n, aj 1.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Keď Merlin dojedol, spýtal sa Aničky, či si s ním nezahrá šach. Anička sa netvárila moc nadšene: „Šach už som hrala toľkokrát, až ma to začalo nudiť.” Merlin sa zamyslel a po chvíli prišiel s riešením: „Čo keby sme šachovnicu poupravili? Potom by to už nebol obyčajný šach.” „Ale ako?” zaujímalo Aničku. Nakoniec nehrali šach, ale trochu inú hru:

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Merlin a Anička majú čierno-bielu šachovnicu 2n \times 2n. Vedúci v každom ťahu vymenia v štvorci 2\times2 všetky biele políčka za čierne políčka a všetky čierne políčka za biele políčka. Pre ktoré n sa dá po konečnom počte ťahov zjednofarebniť šachovnicu ?

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Vedúci kráčali iba chvíľku, keď Alic vystrašene vykríkla: „Škorpióni!” Ivka fascinovane poznamenala: „Pozrite koľko majú rôznych farieb.” „Raz, dva.. dokopy 5,” počítal rýchlo Macker. Danko si ako správny vedúci matematického sústredenia na počte škorpiónov hneď všimol niečo zaujímavé:

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Nájdite všetky prirodzené čísla a > b > c > d > e > 0, aby platilo:

\left\lfloor\frac{a+b}{3}\right\rfloor^2 + \left\lfloor\frac{b+c}{3}\right\rfloor^2 + \left\lfloor\frac{c+d}{3}\right\rfloor^2 + \left\lfloor\frac{d+e}{3}\right\rfloor^2 = 38

Kde \lfloor x\rfloor je najväčšie prirodzené číslo menšie alebo rovné ako x, napríklad \lfloor 5\rfloor = 5, \lfloor 4,7\rfloor = 4 a \lfloor 3,1\rfloor = 3.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

„AU! On ma uštipol!” vykríkla vystrašene Anička. Ivka začala panikáriť: „Zrovna ten je jedovatý! Musíme rýchlo zohnať protijed.” Merlin prispel svojou troškou: „Mhm.. hlavne že máme aspoň jedlo a vodu?” Danko si panikárenia svojich druhov nevšímal. Bol plne fascinovaný škorpiónmi. Najprv ich farbami, teraz tvarom poranenia, ktoré zanechali na Aničkinej nohe. Všimol si, že klepetá škorpiónov majú zaujímavý tvar.

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Škorpión má zaujímavé klepeto trojuholníkového tvaru s vrcholmi A, B, C. Nech A’, B’, C’ sú postupne na stranách BC, AC, AB tak, že AA’ je výška, BB’ je ťažnica a CC’ je os uhla. Dokážte, že A’B’C’ je rovnostranný trojuholník práve vtedy, keď ABC je rovnostranný trojuholník.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Kým ostatní vedúci boli zaneprázdnení panikárením (alebo v Dankovom prípade škorpiónmi), Macker si všimol v diaľke nejakého muža s ťavami. Zakričal naňho a muž sa vybral k vedúcim. Po zoznámení a krátkom rozhovore vedúci zistili, že muž sa volá Matej a práve cestuje do púštneho mesta. Je tam vraj aj lekár, ktorý bude vedieť ošetriť Aničku. Vedúci sa teda vybrali spolu s Matejom do púštneho mesta. Aby im cesta plynula rýchlejšie, zahrali si s Matejom hru.

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Hra sa hrá v jednom rade políčok veľkosti 2024\times1. Dvaja hráči - vedúci spoločne a Matej sa striedajú v ťahoch. Začínajú vedúci. V každom ťahu hráč umiestni do voľného políčka S alebo U. Hráč, ktorý vytvorí tri políčka po sebe, v ktorých je nápis SUS vyhráva. Ak sa minú všetky políčka a žiaden hráč nevyhrá, tak nastáva remíza. Určite, ktorý hráč má výhernú stratégiu, prípadne dokážte, že si obaja hráči môžu vynútiť remízu.

Keď vedúci dorazili do mesta, ihneď zašli za lekárom. Ten Aničku ošetril. Kým ona oddychovala, zvyšní vedúci doplnili zásoby jedla a vody. Po tom ako si pár dní v meste oddýchli a kúpili aj nejaké ťavy, boli pripravení na ďalšiu cestu.

Komentáre (2)

  • TiBi
    02. marec 2025 09:18

    Môžu sa písmená dávať hocikde alebo musia ísť za sebou?

  • JakubK Vedúci
    02. marec 2025 10:43

    Ahoj,
    hráč na ťahu umiestňuje písmeno do ľubovoľného voľného políčka.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa